Ábaco Babilônio
Os
babilônios podem ter utilizado o ábaco para operações de adição e subtração. No
entanto, este dispositivo primitivo provou ser difícil para a utilização em
cálculos mais complexos. Algumas pessoas conhecem um caráter do alfabeto
cuneiforme babilônio que pode ter sido derivado de uma representação do
ábaco. Por isso esse ábaco é muito importante.
Ábaco Egípcio
O uso
do ábaco no antigo Egito é mencionado pelo historiador
grego Crabertotous que escreve sobre a maneira do uso de discos
(ábacos) pelos egípcios, que era oposta na direção quando comparada com o
método grego. Arqueologistas encontraram discos antigos de vários tamanhos que
se pensam terem sido usados como material de cálculo. No entanto, pinturas de
parede não foram descobertas, espalhando algumas dúvidas sobre a intenção de
uso deste instrumento.
Ábaco Grego
Uma
tábua encontrada na ilha grega de Salamina em 1846 data de 300
a.C, fazendo deste o mais velho ábaco descoberto até agora. É um ábaco de
mármore de 149 cm de comprimento, 75 cm de largura e de 4,5 cm
de espessura, no qual existem 5 grupos de marcações. No centro da tábua existe
um conjunto de 5 linhas paralelas igualmente divididas por uma linha vertical,
tampada por um semicírculo na intersecção da linha horizontal mais ao canto e a
linha vertical única. Debaixo destas linhas, existe um espaço largo com uma
rachadura horizontal a dividi-los. Abaixo desta rachadura, existe outro grupo
de onze linhas paralelas, divididas em duas secções por uma linha perpendicular
a elas, mas com o semicírculo no topo da intersecção; a terceira, sexta e nona
linhas estão marcadas com uma cruz onde se intersectam com a linha vertical.
Ábaco Romano
O
método normal de cálculo na Roma antiga, assim como na Grécia antiga, era mover
bolas de contagem numa tábua própria para o efeito. As bolas de contagem
originais denominavam-se calculi.
Mais tarde, e na Europa medieval, os jetons começaram a ser
manufaturados. Linhas marcadas indicavam unidades, meias dezenas, dezenas,
etc., como na numeração romana. O sistema de contagem
contrária continuou até à queda de Roma, assim como na Idade
Média e até ao século XIX, embora já com uma utilização mais limitada.
Em
adição às mais utilizadas bolas de contagem frouxas, vários espécimes de um
ábaco romano foram encontrados, mostrados aqui em reconstrução. Tem oito longos
sulcos contendo até 5 bolas em cada e 8 sulcos menores tendo tanto uma como
nenhuma bola.
Nos
sulcos menores, o sulco marcado I marca unidades, o X dezenas e assim
sucessivamente até aos milhões. As bolas nos sulcos menores marcam os cincos -
cinco unidades, cinco dezenas, etc. - essencialmente baseado na numeração
romana. As duas últimas colunas de sulcos serviam para marcar as subdivisões da
unidade monetária. Temos de ter em conta que a unidade monetária se subdividia
em 12 partes, o que implica que o sulco longo marcado com o sinal
0(representando os múltiplos da onça ou duodécimos da unidade monetária)
comporte um máximo de 5 botões, valendo cada uma 1 onça, e que o botão superior
valha 6 onças. Os sulcos mais pequenos à direita são fracções da onça romana
sendo respectivamente, de cima para baixo, ½ onça, ¼ onça e ⅓ onça.
Ábaco Indiano
Fontes
do século I, como a Abhidharmakosa,
descrevem a sabedoria e o uso do ábaco na Índia. Por volta do século V,
escrivães indianos estavam já à procura de gravar os resultados do Ábaco.
Textos hindus usavam o termo shunya (zero) para indicar a coluna vazia no ábaco.
Ábaco Chinês
A
menção mais antiga a um suanpan (ábaco chinês) é encontrada
num livro do século I da Dinastia Han oriental, o Notas
Suplementares na Arte das Figuras escrito por Xu Yue. No entanto, o
aspecto exato deste suanpan é desconhecido.
Habitualmente,
um suanpan tem cerca de
20 cm de altura e vem em variadas larguras, dependendo do fabricante. Tem
habitualmente mais de sete hastes. Existem duas bolas em cada haste na parte de
cima e cinco na parte de baixo, para números decimais e hexadecimais.
Ábacos mais modernos tem uma bola na parte de cima e quatro na parte de baixo.
As bolas são habitualmente redondas e feitas em madeira. As bolas são contadas
por serem movidas para cima ou para baixo. Se as mover para o alto, conta-lhes
o valor; se não, não lhes conta o valor. O suanpan pode voltar à posição inicial
instantaneamente por um pequeno agitar ao longo do eixo horizontal para afastar
todas as peças do centro.
Os suanpans podem ser utilizados
para outras funções que não contar. Ao contrário do simples ábaco utilizado nas
escolas, muitas técnicas eficientes para o suanpan foram feitas para calcular operações que
utilizam a multiplicação, a divisão, a adição, a subtração,
a raiz quadrada e a raiz cúbica a uma alta velocidade.
No
famoso quadro Cenas à Beira-mar no Festival
de Qingming, pintado por
Zhang
Zeduan(1085-1145) durante a Dinastia Song (960-1297), um suanpan é
claramente visto ao lado de um livro de encargos e de prescrições do doutor na
secretária de um apotecário.
A
similaridade do ábaco romano com o suanpan sugere
que um pode ter inspirado o outro, pois existem evidências de relações
comerciais entre o Império Romano e a China. No entanto, nenhuma ligação direta
é passível de ser demonstrada, e a similaridade dos ábacos pode bem ser
coincidência, ambos derivando da contagem de cinco dedos por mão. Onde o modelo
romano tem 4 mais 1 bolas por espaço decimal, o suanpan padrão tem
5 mais 2, podendo ser utilizado com números hexadecimais, ao contrário do
romano. Em vez de funcionar em cordas como os modelos chinês e japonês, o ábaco
romano funciona em sulcos, provavelmente fazendo os cálculos mais difíceis.
Outra
fonte provável do suanpan são
as pirâmides numéricas chinesas, que operavam com o sistema decimal
mas não incluiam o conceito de zero. O zero foi provavelmente introduzido aos
chineses na
Dinastia Tang (618-907), quando as viagens no Oceano
Índico e no Médio Oriente teriam dado contacto directo com
a Índia e o Islão, permitindo-lhes saber o conceito de zero e
do ponto decimal de mercantes e matemáticos indianos e islâmicos.
O suanpan migrou
da China para a Coréia em cerca do ano 1400. Os coreanos
chamam-lhe jupan (주판), supan (수판) or jusan (주산).
Ábaco Japonês
Um soroban (算盤, そろばん, lit. tábua
de contar) é uma versão modificada pelos japoneses do suanpan. É planeado do suanpan,
importado para o Japão antes do séxulo XVI.No entanto, a idade de
transmissão exacta e o meio são incertos porque não existem registos
específicos. Como o suanpan,
o soroban ainda hoje é utilizado no Japão, apesar da
proliferação das calculadoras de bolso, mais baratas.
A
Coreia tem também o seu próprio, o supan (수판), que é
basicamente o soroban antes
de tomar a sua atual forma nos anos 30. O soroban moderno também tem este nome.
Ábacos dos Nativos Americanos
Algumas
fontes mencionam o uso de um ábaco chamado nepohualtzintzin na antiga cultura azteca. Este ábaco
mesoamericano utiliza um sistema de base 20 com 5 dígitos.
O quipu dos Incas era um sistema
de cordas atadas usado para gravar dados numéricos, como varas de registo
avançadas - mas não eram usadas para fazer cálculos. Os cálculos eram feitos
utilizando uma yupana (quechua para tábua
de contar), que estava ainda em uso depois da conquista do Peru. O
princípio de trabalho de uma yupana é
desconhecido, mas, em 2001, uma explicação para a base matemática deste
instrumento foi proposta. Por comparação à forma de várias yupanas, os investigadores
descobriram que os cálculos eram baseados na sequência
Fibonnaci, utilizando 1,1,2,3,5 e múltiplos de 10, 20 e 40 para os
diferentes campos do instrumento. Utilizar a sequência Fibonnaci manteria o
número de bolas num campo no mínimo.
Ábaco Russo
O ábaco
russo, o schoty (счёты), normalmente tem apenas um lado comprido, com 10 bolas em cada fio
(exceto um que tem 4 bolas, para fracções de quartos de rublo). Este costuma
estar do lado do utilizador. (Modelos mais velhos têm outra corda com 4 bolas,
para quartos de kopeks, que eram emitidos até 1916. O ábaco russo é
habitualmente utilizado na vertical, com os fios da esquerda para a direita ao
modo do livro. As bolas são normalmente curvadas para se moverem para o outro
lado no centro, em ordem para manter as bolas em cada um dos lados. É
clarificado quando as bolas se devem mover para a direita. Durante a
manipulação, as bolas são movidas para a direita. Para mais fácil visualização,
as duas bolas do meio de cada corda (a 5ª e a 6ª; no caso da corda excepção, a
3ª e a 4ª) costumam estar com cores diferentes das outras oito. Como tal, a
bola mais à esquerda da corda dos milhares (e dos milhões, se existir) costuma
também estar pintada de maneira diferente.
O ábaco
russo estava em uso em todas as lojas e mercados de toda a antiga União
Soviética, e o uso do ábaco era ensinado em todas as escolas até aos anos
90. Hoje é visto como algo arcaico e foi substituído pela calculadora. Na
escola, o uso da calculadora é ensinado desde os anos 90.
Ábaco Escolar
Em todo o mundo, os ábacos têm sido utilizados
na educação infantil e na educação básica como uma ajuda ao
ensino do sistema numérico e da aritmética. Nos países ocidentais,
uma tábua com bolas similar ao ábaco russo mas com fios mais direitos e um
plano vertical tem sido comum.
O tipo
de ábaco aqui mostrado é vulgarmene utilizado
para representar números sem o uso do lugar da ordem dos números. Cada bola e
cada fio tem exatamente o mesmo valor e, utilizado desta maneira, pode ser
utilizado para representar números acima de 100.
A
vantagem educacional mais significante em utilizar um ábaco, ao invés de bolas
ou outro material de contagem, quando se pratica a contagem ou a adição
simples, é que isso dá aos estudantes uma ideia dos grupos de 10 que são a base
do nosso sistema numérico. Mesmo que os adultos tomem esta base de 10 como
garantida, é na realidade difícil de aprender. Muitas crianças de 6 anos
conseguem contar até 100 de seguida com somente uma pequena consciência dos
padrões envolvidos.
Usados pelos Deficientes Visuais
Um ábaco
adaptado, inventado por Helen Keller e chamado de Cranmer, é ainda utilizado por deficientes
visuais. Um pedaço de fabrico suave ou borracha é colocado detrás das bolas
para não moverem inadvertidamente. Isto mantém as bolas no sítio quando os
utilizadores as sentem ou manipulam. Elas utilizam um ábaco para fazer as
funções matemáticas multiplicação, divisão, adição, subtração, raiz quadrada e
raiz cúbica.
Embora
alunos deficientes visuais tenham beneficiado de calculadoras falantes, o uso
do ábaco é ainda ensinado a estes alunos em idades mais novas, tanto em escolas
públicas como em escolas privadas de ensino especial. O ábaco ensina
competências matemáticas que nunca poderão ser substituídas por uma calculadora
falante e é uma ferramenta de ensino importante para estudantes deficientes
visuais. Os estudantes deficientes visuais também completam trabalhos de
matemática utilizando um escritor de Braille e de código Nemeth (uma espécie de
código Braille para a matemática), mas as multiplicações largas e as divisões
podem ser longas e difíceis. O ábaco dá a estudantes deficientes visuais e
visualmente limitados uma ferramenta para resolver problemas matemáticos que
iguala a velocidade dos seus colegas sem problemas visuais utilizando papel e
lápis. Muitas pessoas acham esta uma máquina útil durante a sua vida.