segunda-feira, 20 de maio de 2013

A importância do cálculo mental para a construção do conceito de número.


O cálculo mental é a forma mais complexa da matemática, pois envolve agilidade na hora de resolver problemas matemáticos.
O responsável pela resolução do problema é a mente, que quanto mais aguçada, estimulada torna-se mais rápida para responder situações problema. Muitas vezes, o aluno responde as contas da lousa rapidamente, e quando lhe é perguntado, como o fez, ele responde: "Fiz de cabeça!".
Simples assim, muitas crianças são dotadas de uma inteligência lógico matemática e são capazes de resolver problemas matemáticos, fazer contas e falar a tabuada mais rápido do que outras que estariam usando uma calculadora, por exemplo. É importante estimulá-las a usarem a mente e o raciocínio lógico, mas sem esquecer que cada criança tem um acompanhamento diferente em cada disciplina, e claro, sempre respeitando o tempo delas.
Costuma-se usar uma forma bem eficaz para a compreensão de número, com crianças com 6 anos, fala-se um número à ela, e, se ela demorar para responder, pede-se que  pense na quantidade, afim de chegar a construção do número. Exemplo, diga o número 2, ela tem mais chance de interpretar antes do algarismo 2 objetos, então ela imagina, 2 bolas, 2 bonecas, ou seja 2 itens antes de qualquer coisa.
 
 
 

 
 


Texto com as técnicas adotadas por dois autores



A obra a Criança e o Número, de Constance Kamii, apresenta um estudo sobre o desenvolvimento histórico dos números. Em Kamii, para Piaget o estudo da natureza do conhecimento humano deveria ser feito com base em investigação científica, e não por meio de especulação e debate.
Piaget então decidiu completar informações disponíveis que não são muitas, com fatos de como crianças de hoje constroem seus conhecimentos, pois o conhecimento é o resultado de um processo de construção humana que se deu ao longo de vários séculos.
A questão do conhecimento humano, numa reflexão sobre como ensinar o conceito de número em sala de aula, e, os métodos que favorecem o processo de alfabetização matemática, de acordo com Piaget, o conhecimento se dá em três níveis: o conhecimento físico, conhecimento lógico matemático e conhecimento social.
O conhecimento físico é aquele ligado ao mundo concreto, ou dos objetos, desse modo o professor deve explorar as atividades matemáticas que trabalham com as propriedades físicas como o peso e a cor.
 O conhecimento lógico-matemático se desenvolve através das relações mentais com o objeto, as noções de igualdade, comparação, quantidade e classificação são exemplos de conhecimento lógico matemático. Desse modo, a criança progride no desenvolvimento do conhecimento e começa a construir individualmente a noção de número, a partir dos tipos das relações dela com os objetos.
O terceiro é o conhecimento social que é o mesmo conhecimento cultural.
Ao conhecimento físico precisa ser aplicado um pensamento lógico-matemático e as atitudes consistem no conhecimento social. Piaget afirma que a construção do conhecimento se dá através de fontes externas e internas. Enquanto o conhecimento físico e o conhecimento social se processam fora do sujeito, o conhecimento lógico-matemático se dá no interior do individuo, ou seja, na mente. É preciso que o professor tenha em mente que os conceitos de número não podem ser ensinados, mas construídos pela própria criança, por partes, ao invés de tudo de uma vez. Deve se também propiciar às crianças o contato com os materiais concretos, como encorajar as crianças a colocar os objetos em relação, pensar sobre os números e interagir com seus colegas.
Como afirma Kamii, com o aprendizado as crianças desenvolverão o conhecimento de número e isso implica no processo de desenvolvimento da autonomia intelectual. Para a visão construtivista, a autonomia é a finalidade da educação desse modo, uma criança não deve ser ensinada através de métodos tradicionais, como memorização, sinais de aprovação ou desaprovação do professor. Assim, o objetivo para ensinar o número é o da construção que a criança faz à sua maneira, incluindo a quantificação de objetos, sendo através do processo de quantificação que ela consegue construir o número.
É preciso ter em mente que a construção do conceito de número ainda está sendo formado pela criança, e o professor deve priorizar o ato de encorajar as crianças a pensarem sobre os números, relacionarem e interagirem com autonomia utilizando os conceitos já trazidos da sua vida para dentro do ambiente escolar e fazendo novas relações.
Dos princípios gerais de ensino, há inúmeras situações específicas em sala de aula que se prestam particularmente bem ao “ensino” do número, para estimular o pensamento numérico das crianças. Sabemos que o conhecimento matemático, é construído pelas crianças dentro do contexto delas, então não adianta “ensinar” o conceito matemático se não for através de situações que conduzam à quantificação de objetos, de forma lúdica, como os jogos em grupo e a vida diária. Alguns exemplos a serem citados que auxiliam na aprendizagem é a distribuição de materiais (divisão), na divisão e coletas dos objetos (composição aditiva), no registro de informações, na arrumação da sala (quantificação numérica). Os jogos também proporcionam condições de desenvolver o pensamento lógico-matemático e começa a fazer representações, desenvolve as estruturas mentais indispensáveis para a construção e conservação de números. Com relação ao jogo como recurso para auxiliar a aprendizagem, Kamii traz que as crianças precisam ser encorajadas na troca de ideias sobre como querem jogar e mostra diversos modelos de jogos e brincadeiras que podem ser aproveitados na aprendizagem delas: dança das cadeiras, jogos com tabuleiros, jogos de baralho, jogos com bolinha de gude, jogos da memória, etc.. Os jogos com alvos, como bolinhas de gude e o de boliche, são bons para a contagem de objetos e a comparação de quantidades, o jogo de esconder, envolve divisão de conjuntos, adição e subtração, as corridas e brincadeiras de pegar, envolvem quantificação e ordenação de objetos, os jogos de tabuleiros, são usados para trabalhar também a construção de quantificação, os jogos de baralho, desenvolvem o pensamento lógico e numérico. Para trabalhar com jogos é necessária também a atenção do professor sobre os objetivos a serem trabalhados, como os alunos vão identificar, e escolher o jogo certo para cada conceito matemático.



 
Já o autor de "O ensino da matemática na educação de adultos", Newton Duarte, defende a ideia de que o adulto sem escolarização não conhece nada de matemática, mas o conhecimento matemático para ele vem ocorrendo no decorrer de sua vida. Quando ele se depara com certas dificuldades ele as resolve utilizando esse saber matemático. Newton aborda a necessidade de desenvolver uma metodologia de ensino. Sua proposta é ensinar matemática num projeto da Universidade Federal de São Carlos. O autor aponta todas as operações do sistema decimal de numeração aplicando exercícios e pedindo que um educando o oriente passo a passo como resolver e ele vai realizando no ábaco para que todos entendam. Assim, ele vai levando os adultos a refletirem sobre seus conhecimentos matemáticos, que aos poucos, vão percebendo que já tinham algum conhecimento matemático utilizado diariamente em suas vidas. Depois das operações aplicadas, os educandos fazem exercícios para fixarem bem o aprendido. Por fim, o autor pede que outros educadores reflitam de maneira sistemática e rigorosa sobre essa área de ensino.



Proposta de atividade com situações de cotidiano para alunos da 4º série fundamental I

Observe as frases abaixo e escreva o que cada um dos números indica dentre os seguintes itens: Quantidade, Medida, Ordem e Código.

a) 200 pessoas esperam na fila para comprar ingresso para o show de um cantor famoso.

b) Novo Parque de diversão, aberta a 10 km da cidade, atrai 300 pessoas no primeiro dia.

Vinte situações em que as operações matemáticas são utilizadas em nosso cotidiano

  • Data(dia/mês/ano);
·         Relógio(horas, minutos e segundos);
·         Dinheiro;
·         Telefone(discagem do número);
·         Cep (localização de endereço);
·         CPF( para solicitarmos nota fiscal,que é direito do consumidor);
·         Conta Corrente;
·         Número de casa em determinada rua;
·         Agendamento de consultas ou exames;
·         Fatura do cartão;
·         Extrato bancário;
·         Lista telefônica;
·         Contas em geral;
·         Compras;
·         Ao tomar um medicamento;
·         Recebimento do salário;
·         Velocidade do carro;
·         Distância de um lugar a outro;
·         Receita de bolo (quantidades);
·         Para escolher um canal de tv;

 

Atividades com o ábaco e perguntas desafiadoras

 

As atividades foram propostas a uma criança de 08 anos, que está no 3º ano do ensino fundamental. O aluno comentou que não conhecia o ábaco, então o grupo explicou que o ábaco iria auxiliá-lo nas atividades de contagem, adição e subtração. A seguir, demonstramos como trabalhar com o ábaco, explicamos que a primeira casa correspondia à unidade, a segunda correspondia à dezena, a terceira correspondia à centena e a quarta correspondia à unidade de milhar.
Ao iniciar a atividade proposta, o grupo retomou como utilizar as casas e percebeu insegurança por parte do aluno na primeira questão, pois ao realizar a atividade, foi questionado sobre a representação e ele explicou apontando para a questão, então o grupo disse que estava correto. Então, seguiu-se para mais duas questões.

Após as atividades, o aluno foi questionado novamente:

"O que você achou de trabalhar a matemática com o auxilio do ábaco?"
          

 "Por que você achou mais fácil realizar as atividades utilizando o ábaco?"
                  
"O que você gostou mais ao trabalhar a matemática com o ábaco?"

Conclusão: A criança apresentou interação e compreensão das casas  decimais com a utilização do ábaco, percebeu a possibilidade de realizar  diferentes operações e observou que quanto mais praticasse, mais fácil  seria fazer as atividades. 

 

Atividades de como se utilizar o ábaco

O Ábaco
Há vários tipos diferentes de ábacos, mas todos obedecem basicamente aos mesmos princípios. Vamos nos referir ao mais simples deles. Numa moldura de madeira são fixados alguns fios de arame. Dez bolinhas correm em cada fio. As do 1º fio representam as unidades; as do 2º fio representam as dezenas; as do 3º fio representam as centenas, e, assim por diante.


Vamos nos imaginar contando as crianças que entram na escola, passando uma a uma pelo portão. Inicialmente todas as bolinhas devem estar do lado esquerdo do ábaco.
1. Para cada criança que passa, deslocamos uma bolinha do 1º fio para a direita.

 



2. Quando as dez bolinhas do 1º fio estão à direita, deslocamos uma bolinha do 2º fio para a direita e voltamos com as dez bolinhas do 1º fio para a esquerda.

3. Assim, prosseguimos a contagem.


4. Quando as dez bolinhas do 2º fio estiverem à direita, deslocaremos uma bolinha do 3º fio para a direita e as bolinhas do 2º fio voltarão para a esquerda.

Suponhamos que, ao terminar a contagem, esta seja a disposição das bolinhas no ábaco:


Podemos registrá-la deste modo:
centenas
 dezenas
 unidades
      3
      6
      5

O número total de alunos é:
3 bolinhas que valem 100 cada uma
+
6 bolinhas que valem 10 cada uma
+
5 bolinhas que valem 1 cada uma


Ou seja:
 
3 x 100
+
6 x 10
+
5 x 1
=
365
300
+
60
+
5
=
365






Utilizando o ábaco para subtrair

Como dissemos no início desta lição, além de identificar os problemas que podem ser resolvidos com a subtração, é preciso também que a criança aprenda a subtrair.
Existem duas técnicas que são tradicionalmente apresentadas às crianças em nossas escolas. Alguns professores e professoras preferem uma enquanto outros colegas preferem trabalhar com a outra.
Vamos procurar compreender as duas. Para favorecer esta compreensão é bastante útil usar o ábaco.
Começamos por um exemplo simples, subtraindo 142 e 563:
·  representamos o 563 no ábaco

·  a seguir, das três unidades subtraímos 2, das 6 dezenas subtraímos 4 e das 5 centenas subtraímos 1


·  agora lemos o resultado


É importante perceber a relação existente entre o que fazemos com o ábaco e o que fazemos com os símbolos do nosso sistema de numeração:
A compreensão desta técnica apóia-se na compreensão do nosso sistema numérico.
Agora vamos subtrair 431 de 725:
·  representamos o 725 no ábaco


·  a seguir, das 5 unidades subtraímos 1



·  na casa das dezenas, onde temos 2 bolinhas, não podemos retirar 3;
por isso desagrupamos uma centena convertendo-a em dez dezenas


·  agora, na casa das dezenas, temos 12 bolinhas e podemos retirar 3



·  finalmente, das 6 centenas retiramos 4


Só é possível entender este processo de cálculo se entendemos a idéia de agrupamento, presente em nosso sistema de numeração.



Atividade: 

domingo, 19 de maio de 2013

Tipos de Ábaco


Ábaco Mesopotâmico

O primeiro ábaco foi quase de certeza construído numa pedra lisa coberta por areia ou pó. Palavras e letras eram desenhadas na areia; números eram eventualmente adicionados e bolas de pedra eram utilizadas para ajuda nos cálculos. Os babilônios utilizavam este ábaco em 2700–2300 a.C.. A origem do ábaco de contar com bastões é obscuro, mas a Índia, a Mesopotâmia ou o Egito são vistos como prováveis pontos de origem. A China desempenhou um papel importante no desenvolvimento do ábaco.

 


 
Ábaco Babilônio
Os babilônios podem ter utilizado o ábaco para operações de adição e subtração. No entanto, este dispositivo primitivo provou ser difícil para a utilização em cálculos mais complexos. Algumas pessoas conhecem um caráter do alfabeto cuneiforme babilônio que pode ter sido derivado de uma representação do ábaco. Por isso esse ábaco é muito importante. 
 


Ábaco Egípcio
O uso do ábaco no antigo Egito é mencionado pelo historiador grego Crabertotous que escreve sobre a maneira do uso de discos (ábacos) pelos egípcios, que era oposta na direção quando comparada com o método grego. Arqueologistas encontraram discos antigos de vários tamanhos que se pensam terem sido usados como material de cálculo. No entanto, pinturas de parede não foram descobertas, espalhando algumas dúvidas sobre a intenção de uso deste instrumento.




Ábaco Grego
Uma tábua encontrada na ilha grega de Salamina em 1846 data de 300 a.C, fazendo deste o mais velho ábaco descoberto até agora. É um ábaco de mármore de 149 cm de comprimento, 75 cm de largura e de 4,5 cm de espessura, no qual existem 5 grupos de marcações. No centro da tábua existe um conjunto de 5 linhas paralelas igualmente divididas por uma linha vertical, tampada por um semicírculo na intersecção da linha horizontal mais ao canto e a linha vertical única. Debaixo destas linhas, existe um espaço largo com uma rachadura horizontal a dividi-los. Abaixo desta rachadura, existe outro grupo de onze linhas paralelas, divididas em duas secções por uma linha perpendicular a elas, mas com o semicírculo no topo da intersecção; a terceira, sexta e nona linhas estão marcadas com uma cruz onde se intersectam com a linha vertical.





Ábaco Romano

 

O método normal de cálculo na Roma antiga, assim como na Grécia antiga, era mover bolas de contagem numa tábua própria para o efeito. As bolas de contagem originais denominavam-se calculi. Mais tarde, e na Europa medieval, os jetons começaram a ser manufaturados. Linhas marcadas indicavam unidades, meias dezenas, dezenas, etc., como na numeração romana. O sistema de contagem contrária continuou até à queda de Roma, assim como na Idade Média e até ao século XIX, embora já com uma utilização mais limitada.

Em adição às mais utilizadas bolas de contagem frouxas, vários espécimes de um ábaco romano foram encontrados, mostrados aqui em reconstrução. Tem oito longos sulcos contendo até 5 bolas em cada e 8 sulcos menores tendo tanto uma como nenhuma bola.

Nos sulcos menores, o sulco marcado I marca unidades, o X dezenas e assim sucessivamente até aos milhões. As bolas nos sulcos menores marcam os cincos - cinco unidades, cinco dezenas, etc. - essencialmente baseado na numeração romana. As duas últimas colunas de sulcos serviam para marcar as subdivisões da unidade monetária. Temos de ter em conta que a unidade monetária se subdividia em 12 partes, o que implica que o sulco longo marcado com o sinal 0(representando os múltiplos da onça ou duodécimos da unidade monetária) comporte um máximo de 5 botões, valendo cada uma 1 onça, e que o botão superior valha 6 onças. Os sulcos mais pequenos à direita são fracções da onça romana sendo respectivamente, de cima para baixo, ½ onça, ¼ onça e onça.


 

 

 






Ábaco Indiano
Fontes do século I, como a Abhidharmakosa, descrevem a sabedoria e o uso do ábaco na Índia. Por volta do século V, escrivães indianos estavam já à procura de gravar os resultados do Ábaco. Textos hindus usavam o termo shunya (zero) para indicar a coluna vazia no ábaco.






Ábaco Chinês

A menção mais antiga a um suanpan (ábaco chinês) é encontrada num livro do século I da Dinastia Han oriental, o Notas Suplementares na Arte das Figuras escrito por Xu Yue. No entanto, o aspecto exato deste suanpan é desconhecido.

Habitualmente, um suanpan tem cerca de 20 cm de altura e vem em variadas larguras, dependendo do fabricante. Tem habitualmente mais de sete hastes. Existem duas bolas em cada haste na parte de cima e cinco na parte de baixo, para números decimais e hexadecimais. Ábacos mais modernos tem uma bola na parte de cima e quatro na parte de baixo. As bolas são habitualmente redondas e feitas em madeira. As bolas são contadas por serem movidas para cima ou para baixo. Se as mover para o alto, conta-lhes o valor; se não, não lhes conta o valor. O suanpan pode voltar à posição inicial instantaneamente por um pequeno agitar ao longo do eixo horizontal para afastar todas as peças do centro.

Os suanpans podem ser utilizados para outras funções que não contar. Ao contrário do simples ábaco utilizado nas escolas, muitas técnicas eficientes para o suanpan foram feitas para calcular operações que utilizam a multiplicação, a divisão, a adição, a subtração, a raiz quadrada e a raiz cúbica a uma alta velocidade.

No famoso quadro Cenas à Beira-mar no Festival de Qingming, pintado por

Zhang Zeduan(1085-1145) durante a Dinastia Song (960-1297), um suanpan é claramente visto ao lado de um livro de encargos e de prescrições do doutor na secretária de um apotecário.

A similaridade do ábaco romano com o suanpan sugere que um pode ter inspirado o outro, pois existem evidências de relações comerciais entre o Império Romano e a China. No entanto, nenhuma ligação direta é passível de ser demonstrada, e a similaridade dos ábacos pode bem ser coincidência, ambos derivando da contagem de cinco dedos por mão. Onde o modelo romano tem 4 mais 1 bolas por espaço decimal, o suanpan padrão tem 5 mais 2, podendo ser utilizado com números hexadecimais, ao contrário do romano. Em vez de funcionar em cordas como os modelos chinês e japonês, o ábaco romano funciona em sulcos, provavelmente fazendo os cálculos mais difíceis.

Outra fonte provável do suanpan são as pirâmides numéricas chinesas, que operavam com o sistema decimal mas não incluiam o conceito de zero. O zero foi provavelmente introduzido aos chineses na 

Dinastia Tang (618-907), quando as viagens no Oceano Índico e no Médio Oriente teriam dado contacto directo com a Índia e o Islão, permitindo-lhes saber o conceito de zero e do ponto decimal de mercantes e matemáticos indianos e islâmicos.

suanpan migrou da China para a Coréia em cerca do ano 1400. Os coreanos chamam-lhe jupan (주판), supan (수판) or jusan (주산).


 




Ábaco Japonês
 
Um soroban (算盤そろばん, lit. tábua de contar) é uma versão modificada pelos japoneses do suanpan. É planeado do suanpan, importado para o Japão antes do séxulo XVI.No entanto, a idade de transmissão exacta e o meio são incertos porque não existem registos específicos. Como o suanpan, o soroban ainda hoje é utilizado no Japão, apesar da proliferação das calculadoras de bolso, mais baratas.
A Coreia tem também o seu próprio, o supan (수판), que é basicamente o soroban antes de tomar a sua atual forma nos anos 30. O soroban moderno também tem este nome.
 
 




Ábacos dos Nativos Americanos

 
 
Algumas fontes mencionam o uso de um ábaco chamado nepohualtzintzin na antiga cultura azteca. Este ábaco mesoamericano utiliza um sistema de base 20 com 5 dígitos.
O quipu dos Incas era um sistema de cordas atadas usado para gravar dados numéricos, como varas de registo avançadas - mas não eram usadas para fazer cálculos. Os cálculos eram feitos utilizando uma yupana (quechua para tábua de contar), que estava ainda em uso depois da conquista do Peru. O princípio de trabalho de uma yupana é desconhecido, mas, em 2001, uma explicação para a base matemática deste instrumento foi proposta. Por comparação à forma de várias yupanas, os investigadores descobriram que os cálculos eram baseados na sequência Fibonnaci, utilizando 1,1,2,3,5 e múltiplos de 10, 20 e 40 para os diferentes campos do instrumento. Utilizar a sequência Fibonnaci manteria o número de bolas num campo no mínimo.

 




Ábaco Russo

O ábaco russo, o schoty (счёты), normalmente tem apenas um lado comprido, com 10 bolas em cada fio (exceto um que tem 4 bolas, para fracções de quartos de rublo). Este costuma estar do lado do utilizador. (Modelos mais velhos têm outra corda com 4 bolas, para quartos de kopeks, que eram emitidos até 1916. O ábaco russo é habitualmente utilizado na vertical, com os fios da esquerda para a direita ao modo do livro. As bolas são normalmente curvadas para se moverem para o outro lado no centro, em ordem para manter as bolas em cada um dos lados. É clarificado quando as bolas se devem mover para a direita. Durante a manipulação, as bolas são movidas para a direita. Para mais fácil visualização, as duas bolas do meio de cada corda (a 5ª e a 6ª; no caso da corda excepção, a 3ª e a 4ª) costumam estar com cores diferentes das outras oito. Como tal, a bola mais à esquerda da corda dos milhares (e dos milhões, se existir) costuma também estar pintada de maneira diferente.

O ábaco russo estava em uso em todas as lojas e mercados de toda a antiga União Soviética, e o uso do ábaco era ensinado em todas as escolas até aos anos 90. Hoje é visto como algo arcaico e foi substituído pela calculadora. Na escola, o uso da calculadora é ensinado desde os anos 90.
 



Ábaco Escolar
Em todo o mundo, os ábacos têm sido utilizados na educação infantil e na educação básica como uma ajuda ao ensino do sistema numérico e da aritmética. Nos países ocidentais, uma tábua com bolas similar ao ábaco russo mas com fios mais direitos e um plano vertical tem sido comum.
O tipo de ábaco aqui mostrado é vulgarmene utilizado para representar números sem o uso do lugar da ordem dos números. Cada bola e cada fio tem exatamente o mesmo valor e, utilizado desta maneira, pode ser utilizado para representar números acima de 100.
A vantagem educacional mais significante em utilizar um ábaco, ao invés de bolas ou outro material de contagem, quando se pratica a contagem ou a adição simples, é que isso dá aos estudantes uma ideia dos grupos de 10 que são a base do nosso sistema numérico. Mesmo que os adultos tomem esta base de 10 como garantida, é na realidade difícil de aprender. Muitas crianças de 6 anos conseguem contar até 100 de seguida com somente uma pequena consciência dos padrões envolvidos.

 
 





 
 
 
 
 
Usados pelos Deficientes Visuais
Um ábaco adaptado, inventado por Helen Keller e chamado de Cranmer, é ainda utilizado por deficientes visuais. Um pedaço de fabrico suave ou borracha é colocado detrás das bolas para não moverem inadvertidamente. Isto mantém as bolas no sítio quando os utilizadores as sentem ou manipulam. Elas utilizam um ábaco para fazer as funções matemáticas multiplicação, divisão, adição, subtração, raiz quadrada e raiz cúbica.
Embora alunos deficientes visuais tenham beneficiado de calculadoras falantes, o uso do ábaco é ainda ensinado a estes alunos em idades mais novas, tanto em escolas públicas como em escolas privadas de ensino especial. O ábaco ensina competências matemáticas que nunca poderão ser substituídas por uma calculadora falante e é uma ferramenta de ensino importante para estudantes deficientes visuais. Os estudantes deficientes visuais também completam trabalhos de matemática utilizando um escritor de Braille e de código Nemeth (uma espécie de código Braille para a matemática), mas as multiplicações largas e as divisões podem ser longas e difíceis. O ábaco dá a estudantes deficientes visuais e visualmente limitados uma ferramenta para resolver problemas matemáticos que iguala a velocidade dos seus colegas sem problemas visuais utilizando papel e lápis. Muitas pessoas acham esta uma máquina útil durante a sua vida.